拉格朗日點

拉格朗日點（Lagrange   points）它是天體力學中平面圓受限三體的五個特解。又被稱為平動點。小質量的天體(忽略為質點)空間中的一點，在兩個大質量天體的引力作用下，一個小物體相對于兩個大物體保持基本靜止。

在每個由兩個大質量天體組成的系統中，推斷有五個拉格朗日點，其中兩個是穩定解，即在受到外力后趨于回到原來的相對位置。1767年，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard   Euler）計算前三個拉格朗日點。法國著名數學家、物理學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-地址Louis Lagrange）1772年，推斷出還剩兩個。后來，這五個點被稱為“拉格朗日點”。

到2023年，拉格朗日點的小天體相對于大天體是相對靜止的，這在天文學中已經得到了廣泛的應用、航空航天等領域。例如，著名的詹姆斯·韋伯太空望遠鏡被設置在這一天-論地球系統中的拉格朗日點。

發現

上述三體運動中求解小天體位置的問題也叫“平面圓形受限三體”當小天體的質量可以忽略時，這個問題有五種特殊解法。1767年，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard   Euler）根據旋轉的兩體引力場，計算出三個特解，這三點后來被稱為L1、L2和L3，五年后，法國數學家約瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph-地址Louis Lagrange）計算剩下的兩個特解L4和L5。后來人們把這五個點統稱為拉格朗日點。

證實

拉格朗日點在1906年首次被證明，這一年天文學家馬克斯·沃爾夫（Max Wolf）在火星和木星之間的主帶外發現了一顆小行星。它圍繞太陽的軌道與木星完全相同它在木星前面運行。似乎這顆小行星-木星-太陽始終位于一個等邊三角形的三個頂點上，這顆小行星就是以特洛伊戰爭中的人物命名的“阿基里斯”同年，天文學家發現木星上出現了一顆名為617的小行星s軌道這顆小行星運行在木星后面，木星后面60度。這顆小行星也與木星和太陽形成等邊三角形。

20世紀80年代，科學家在土星及其大型衛星組成的運動系統中發現了類似的等邊三角形。到2009年，天文學家已經在木星的L4和L5周圍發現了1000多顆小行星。兩個拉格朗日點L4和L5也稱為三角形拉格朗日點或特洛伊點。這些事實無可辯駁地證明了拉格朗日點的存在和正確性。

拉格朗日點的穩定性

不穩定拉格朗日點（L1、L2和L3）

在這五個拉格朗日點中，有三個不穩定的拉格朗日點，即L1、L2和L3位于兩個大質量天體的連線上，也稱為共線平移點。L1對應的是兩個大天體引力之差提供一個小天體繞質心圓周運動的情況，L2和L3對應的是兩個大天體引力之和提供一個小天體繞質心圓周運動的情況。通過數學計算發現，當質量參數μ變化時，共線平移點的位置也會發生變化下圖顯示了不同質量參數下共線平移點的位置變化虛線代表兩個大天體的位置，縱坐標是兩個主天體之間的距離。通過對圖像的分析，我們可以知道這三個拉格朗日點是不穩定的拉格朗日點，這些點上的小天體可能會因為擾動而偏離軌道。

穩定拉格朗日點（L4和L5）

對于L4和L5，無論質量參數如何變化，這兩個拉格朗日點和兩個大天體始終保持等邊三角形構型，因此非常穩定，這兩個點上的行星不容易發生位移這兩個點也稱為三角形平移點。

探測

尋找拉格朗日點最直觀的方法就是通過有效勢能推導出物體的力。等勢線最密的地方力最強，等勢線稀疏的地方力最弱。如下圖所示，高點為黃色，低點為紫色通過這種分析方法，可以快速分析出拉格朗日點的位置。

對于人類來說，不同的拉格朗日點有不同的應用，最重要的拉格朗日點就是地球-太陽系統和月球-地球系統中的拉格朗日點。

地球-太陽系統

共線平動點

由于共線平動點處的不穩定性，在共線平動點附近沒有自然天體長期運行，所以地球-太陽系的共線平動點L1相對于太陽和地球具有相對固定的幾何構型，可以提供不間斷的太陽視野，因此在日地關系的觀測中有著非常重要的應用。例如，太陽和L2點在今天有非常重要的應用由于其非常穩定的熱力學環境和相對固定的與地球的配置，美國的天文觀測任務。例如，著名的詹姆斯·韋伯太空望遠鏡被設置在這一天-地球系統中的L2拉格朗日點。此外，L2也是普朗克和WMAP的所在地。至于L3，截至2023年，天文學家還沒有發現任何用處，因為它始終在太陽后面，那里的航天器很難與地球建立穩定的通信系統。但是隱藏星球L3的想法一直是科幻寫作的熱門話題。

截至2023年，日本已被全球訪問-地球系統共線平移點的任務如下：ISEE-3/ICE、WIND、SOHO、ACE、DSCOVER、LPF、WMAP、GENESIS、Uranus、PLANCK、GAIA、嫦娥二號等。

月球-地球系統

共線平動點

月球-地球系統的共線平動點L1與地球和月球的幾何構型幾乎相同，未來可以作為地球使用-月轉移的中繼點。由于L2附近的軌道可以連續觀測月球背面，與地球的通信不受月球阻擋，因此可以作為月球背面與地球觀測站的中繼通信。例如我國“鵲橋中繼衛星”在繞地球旋轉的同時繞著拉格朗日點L2旋轉，“鵲橋中繼衛星”它可以作為中繼站，將月球背面探測器發射的信號無障礙地傳輸到地球。

2015年，中國 美國的宇宙飛船第一次到達地面-月L2點。到2023年，全世界都去過月球-地球系統共線平移點的任務如下：ARTEMIS、GRAIL、CE5/T1等。

三角平動點

截至2023年，相關學者已在現場-月球系統的三角形平移點的應用已經在理論上進行了研究，但日本探測器天妃除外，該探測器于1990年代飛越地球-除了三角平動點之外，沒有與月球系統相關的空間任務。